Есть слово homey, но я его не встречал. Чаще говорят likes to stay (spend time) at home

Есть слово "homely". Но оно имеет другой смысл. См. по ссылке: https://www.lingvolive.com/ru-ru/translate/en-ru/homely
Чаще говорят все-таки "indoorsy person".

Homey, а не homely. Indoorsy person тоже ни разу не встречал.

Homey и homely в принципе одно и то же. http://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/homely?fallbackFrom=essential-american-english
http://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/homey?fallbackFrom=essential-american-english.
Больше относится к характеристике предметов, мест и внешнего вида. Можно применить и к характеру человека, но indoorsy в этом случае -тот, кто любит сидеть дома - больше подходит.

Homely значит уродливая, страшная. Homey означает удобное место, где можно чувствовать себя как дома.

По крайней мере в Америке,
где я живу.

А как называют домоседа у вас, Ули?

Ули, по поводу первых двух слов согласна.
Татьяна, вот что говорят люди, живущие в Америке про домоседа:
"Indoorsy is describing someone who doesn't like to go outside, they spend most of their time inside. Similar to how we describe cats as "Indoor" or "Outdoor" cats."

We usually call a person who doesn't go out often a "homebody"

Also, I've "outdoorsy" used to describe someone who likes to go camping, hiking, etc. but I've never heard "indoorsy" in my life. I'm not saying it doesn't exist - the dictionary is full of words that exist, but people never use.

Спасибо, Аrwen! Прислушаемся к человеку, живущему в Америке, и выучим слово "homebody".
Благодарю, Ули!

Ули, добавь, пожалуйста, свой перевод! Комментарии - это так, обсудили и забыли.