She's advertised me, and they gave me this work. (?)

She boosted me)

она хвалила меня много и они решили взять меня на работу. ( в разговоре, она не давала никаких обьявлений в газеты:)

maybe talked me up?

Да, "разрекламировала" здесь в переносном смысле - перевод неправильный.

she spoke highly of me

Uly, "разрекламировать" doesn't mean "to place a single anouncement". We use this verb to say about raising a wide advertising campaign.
In this context, most likely, it means that she talked a lot about the.speaker's professional level and human qualities, and she managed to persuade the bosses to hire the speaker.

She praised me a lot/complemented me /put me in a good words (?)

Complimented

Sorry, I was influenced by Zoya’s attempt. Then Dasha’s right — talk up.

Разрекламировать в русском - рассказать про сильные стороны. Думала, что так же и в английском :)

😉

excellent reference - отличная рекомендация. Так и запишем)

TALK UP is also good. It means that she was talking to the new employers and mentioned the candidate and how good/talented/responsible she knows her to be from personal experience.

Good to know!

Да уж, мне тоже кажется, что «разрекламировала» - не самый удачный выбор слова вместо «расхвалила» по той причине, о которой здесь уже упоминали.

Я бы сказал, что «разрекламировала» вполне подходящее слово, когда фраза сказана с юмором - уж так она постаралась, ну так постаралась!

Я тоже

Чтобы устроить меня на эту работу, она развернула перед начальством целую рекламную кампанию, чтобы показать, какой я весь супер-пупер.

In order to get me this job, she mounted an all-out promotional campaign to show the management team what a kickass candidate I am.

развернула перед начальством целую рекламную кампанию

IMO, это серьёзное преувеличение по сравнению с просто 'разрекламировала'

I think Sasha was being humorous (as was I).

Возможно.
Вообще говоря, это то же 'расхвалила', но с оттенком иронии

Я специально преувеличил, чтобы подчеркнуть юмор и иронию в исходной фразе, в противовес 'excellent reference.'

I get you, Sasha

😂