PROPER means CORRECT here

в правильном смысле слова - так не говорят

https://www.google.com/search?ei=NNutXKnlJc6atgXfrZ5w&q=%22%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC+%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5+%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%22&oq=%22%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC+%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5+%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%22&gs_l=psy-ab.3...53262.60475..60755...1.0..0.156.2791.21j7......0....1..gws-wiz.......0i7i30j0i7i10i30j0i131j0j35i39j0i7i30i19j0i203j0i30j0i8i7i30j0i8i30j33i299j33i10.tnYz__atA8I

Странно. Но это публикации 2017-2019 годов. Возможно, это калька с английского
https://books.google.com/ngrams/graph?content=%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC+%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5+%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%2C+%D0%B2+%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BC+%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5+%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0&year_start=1800&year_end=2000&corpus=25&smoothing=3&share=&direct_url=t1%3B%2C%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BC%20%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%3B%2Cc0

Alina, in English “the proper sense of the word” means “according to the correct meaning of the word (in question)”

In the proper sense means - в прямом, не в переносном.
В прямом is the same as в правильном, only it's not correct to say в правильном смысле слова. It's not good Russian.

The opposite of FIGURATIVE is LITERAL. In the proper sense of THE WORD is used to correct a misuse of a word or term: https://books.google.com/books?id=kOJGAQAAMAAJ&pg=PR8-IA38&lpg=PR8-IA38&dq=%22in+the+proper+sense+of+the+word%22&source=bl&ots=HbGNK1dUjC&sig=ACfU3U0HWSh90s7iVqTWeVvq9Ys_6IvhDQ&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwj92-36ycXhAhVJ7oMKHSlIB7M4ChDoATADegQIBhAB#v=onepage&q=%22in%20the%20proper%20sense%20of%20the%20word%22&f=false

https://thelawdictionary.org/unlawful/

точное /правильное ЗНАЧЕНИЕ слова

Спасибо, Алекс!

но не "в правильном значении слова"

https://books.google.com/ngrams/graph?content=истинном+значении+слова%2Cсобственном+значении+слова%2Cбуквальном+значении+слова%2C+правильном+значении+слова%2C+прямом+значении+слова&year_start=1800&year_end=2000&corpus=25&smoothing=3&share=&direct_url=t1%3B%2Cистинном значении слова%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cсобственном значении слова%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cбуквальном значении слова%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cпрямом значении слова%3B%2Cc0

А откуда вообще взялось это "в"?

ну да, справедливо спрашиваете. Мне кажется, что чаще это выражение используется с in the, поэтому я добавила

у них in the, а у нас - по контексту должно быть

у всех по контексту)

Я подразумевал перевод на русский "in the". ))