Вряд ли в англоязычной среде есть понятие соискания. Честно говоря, сам я не очень понимаю, что это значит. Аспирантура и работа над диссертацией?

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Postgraduate_education

Да, т. е. выпускник аспирантуры. Предложение "Х защитил диссертацию на соискание степени кандитата медицинских наук"

X defended his thesis *in candidacy for a degree* in *blabla* - звучит не по-английски. "X received his PhD in" немного неравнозначно степени кандидата наук, т к все же существует еще понятие доктора наук

Ок, все же последний вариант, очевидно
https://en.wikipedia.org/wiki/Candidate_of_Sciences
Александр, спасибо!

"X (has) defended his PhD thesis/dissertation in Medicine.
https://better-operations.com/2013/12/15/defend-your-phd-dissertation/
http://thesishub.org/defending-phd-thesis/

В прошлом и в настоящее время в странах бывшего СССР по умолчанию степень доктора философии (полученная в странах, где она не является высшей) приравнивается к степени кандидата наук:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Доктор_философии

вообще-то, seeking PhD degree - довольно распространенное выражение, но слегка в другом контексте

Вы имеете в виду pursuing a degree? Да, значение другое. Pursue a degree = study for a degree. Дословно seek a degree не встречала, киньте ссылку

http://study-english.info/translation-candidates.php

https://www.google.com/search?q=%22seeking+PhD+degree%22&ie=utf-8&oe=utf-8&client=firefox-b
Насчет "очень распространенное" был неправ