Различие достигается контекстом:
The very dream of you makes me happy - сама мечта о тебе делает меня счастливым.
I had a dream about you last night - ты мне снилась этой ночью.
Что касается глагола to dream, синяя книжка Murphy определяет, что dream of - мечтать о, dream about - видеть во сне:
I dreamed of you the whole day through - я мечтал о тебе весь день;
I dreamed about you last night - я видел тебя во сне этой ночью.
Если снилось какое-то действие, то to dream that
(Dreamt уже выходит из употребления)