Grumbler, isn’t there a name in Russian for this kind of expression? Something like крыл... выражение?

есть - крылатое выражение
по-моему, это то же самое, что и catch phrase

Ah!

This post is describing a catchphrase, so perhaps you could say that it became a крылатое выражение.

В таких случаях я всегда себе задаю вопрос - а можно было фразу на английском сформулировать по-другому, в данном случае "became a catchphrase"? Если да, то выбираю вариант более близкий к оригиналу.

Просто добавь свой вариант.

I try not to translate into Russian on here. I just thought it would be an interesting variant.

Why not?
TBH, I am not sure that "задело за живое" is the most close translation - and it's pretty remote from "стало крылатым выражением"
https://context.reverso.net/перевод/английский-русский/struck+a+chord

STRUCK A CHORD in this post infers that it made an impression and people subsequently remembered it (but not so much the movie), and repeated it quite often. That’s why I thought your Russian phrase would be fitting.

И именно поэтому я не уверен.
"Задеть за живое", вообще говоря, не подразумевает remembering and repeating.

Ладно, исправил - раз ты не хочешь добалять.

I didn’t mean for you to replace the first translation! It was perfect, from what I can judge. I thought you could add them both as two different variants.

Я знаю, но разница уж слишком большая, чтобы оставлять оба варианта.
Как я сказал, "задеть за живое" - это, вообще говоря, момент.

Ok, yeah, here it means that they didn’t forget it.