Пожалуй нужно начать с главной разницы - это разные части речи. Forever - наречие. Eternal - прилагательное.

да, если говорить о синонимах, то точный синоним "forever" - "eternally".
В подавляющем большинстве случаев эти слова подразумевают одно и то же.

Но если автор желает так сказать передать "всю гамму смысловых оттенков", то "forever" (т.е. "навсегда" или "навечно") следует употреблять при описании конкретного явления, которое началось в момент повествования либо относительно недолго перед началом повествования и будет иметь место и далее, в течение неопределенно длительного времени. Например: "Our friendship seems will be last forever".
Понятие "eternally" (т.е. "вечно" или "всегда") более уместно при описании каких-то общих, абстрактных явлений и понятий, существование которых непреходящее, и которые не имеют прямого отношения к автору высказывания/рассказчику. Например: "The question of meaning of life is being discussed eternally".