тогда и только тогда

Десятичное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

A number in decimal notation is divisible by 3 if and only if the sum of its digits is divisible by 3.

Грэхем, Р.,Кнут, Д.,Паташник, О. / Конкретная математика. Основание информатикиGraham, Ronald L.,Knuth, Donald E.,Patashnik, Oren / Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science

Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science

Graham, Ronald L.,Knuth, Donald E.,Patashnik, Oren

© 1989 by Addison-Wesley Publishing Company

Конкретная математика. Основание информатики

Грэхем, Р.,Кнут, Д.,Паташник, О.

© 1994, 1989 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

© перевод, В. В. Походзей, А.В. Ходулёв, 1998

Точка F лежит на V тогда и только тогда, когда F удовлетворяет уравнениям многообразия F, не содержащим F, т. е. когда эта точка лежит на многообразии-образе соответствия между F и F.

The point F lies on V if and only if F satisfies all the equations of F which do not involve F; that is, if it lies on the image-variety in F of the correspondence between F and F.

Ходж, В.,Пидо, Д. / Методы алгебраической геометрии. Том 2Hodge, W. V. D,Pedoe, D. / Methods of Algebraic Geometry Volume II

Methods of Algebraic Geometry Volume II

Hodge, W. V. D,Pedoe, D.

© Cambridge University Press

Методы алгебраической геометрии. Том 2

Ходж, В.,Пидо, Д.

При беззнаковом делении переполнение возникает тогда и только тогда, когда у = 0.

For the unsigned division , overflow occurs if and only if y = 0.

Уоррен, Генри / Алгоритмические трюки для программистовWarren, Henry S. / Hacker's Delight

Hacker's Delight

Warren, Henry S.

© 2003 by Pearson Education, Inc.

Алгоритмические трюки для программистов

Уоррен, Генри

© Издательский дом "Вильямс", 2003

© Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 2002

В действительности достаточно взять экземпляр ВЫП Е и преобразовать его в экземпляр ВКНФ F, выполнимый тогда и только тогда, когда выполним Е.

All we have to do is take a SAT instance B and convert it to a CSAT instance F such that F is satisfiable if and only if E is.

Хопкрофт, Джон,Мотвани, Раджив,Ульман, Джеффри / Введение в теорию автоматов, языков и вычисленийHopcroft, John,Motwani, Rajeev,Ullman, Jeffrey / Introduction to automata theory, languages, and computation

Introduction to automata theory, languages, and computation

Hopcroft, John,Motwani, Rajeev,Ullman, Jeffrey

© 2001 by Addison-Wesley

Введение в теорию автоматов, языков и вычислений

Хопкрофт, Джон,Мотвани, Раджив,Ульман, Джеффри

© Издательский дом "Вильямс", 2002

© Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2001

Куммер показал, что простое число р регулярно тогда и только тогда, когда р не делит hp.

Kummer showed that the prime p is regular if and only if p does not divide hp.

Рибенбойм, П. / Последняя теорема Ферма для любителейRibenboim, Paulo / Fermat's Last Theorem for Amateurs

Fermat's Last Theorem for Amateurs

Ribenboim, Paulo

© 1999 Springer-Verlag New York, Inc.

Последняя теорема Ферма для любителей

Рибенбойм, П.

© перевод на русcкий язык, издательство «Мир», 2003

© 1999 Springer-Verlag New York, Inc.

Последний случай возможен тогда и только тогда, когда р = 1 (mod 6).

This latter case happens if and only if p = 1 (mod 6).

Рибенбойм, П. / Последняя теорема Ферма для любителейRibenboim, Paulo / Fermat's Last Theorem for Amateurs

Fermat's Last Theorem for Amateurs

Ribenboim, Paulo

© 1999 Springer-Verlag New York, Inc.

Последняя теорема Ферма для любителей

Рибенбойм, П.

© перевод на русcкий язык, издательство «Мир», 2003

© 1999 Springer-Verlag New York, Inc.

Другими словами, цепочка w является палиндромом тогда и только тогда, когда w = wR.

Put another way, string in is a palindrome if and only if w = wR.

Хопкрофт, Джон,Мотвани, Раджив,Ульман, Джеффри / Введение в теорию автоматов, языков и вычисленийHopcroft, John,Motwani, Rajeev,Ullman, Jeffrey / Introduction to automata theory, languages, and computation

Introduction to automata theory, languages, and computation

Hopcroft, John,Motwani, Rajeev,Ullman, Jeffrey

© 2001 by Addison-Wesley

Введение в теорию автоматов, языков и вычислений

Хопкрофт, Джон,Мотвани, Раджив,Ульман, Джеффри

© Издательский дом "Вильямс", 2002

© Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2001

Об А является тавтологичным для матрицы М тогда и только тогда, когда он принимает выделенные значения, как бы мы ни приписывали значения всем атомам.

An ob A is tautologous for a matrix M if and only if A has a designated value in every possible assignment of values to the atoms.

Карри, Хаскелл Б. / Основания математической логикиCurry, Haskell B. / Foundations of Mathematical Logic

Foundations of Mathematical Logic

Curry, Haskell B.

© 1963 by Haskell B. Curry.

© 1977 by Haskell B. Curry.

Основания математической логики

Карри, Хаскелл Б.

© Издательство «Мир», 1969

Также, матрица А ортогональна тогда и только тогда, когда столбцы (строки) А образуют множество ортонормальных векторов.

Also, A is orthogonal if and only if the columns (and rows) of A form a set of orthonormal vectors.

Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д. / Численные методы. Использование MATLABMathews, John H.,Fink, Kurtis D. / Numerical Methods Using Matlab

Numerical Methods Using Matlab

Mathews, John H.,Fink, Kurtis D.

Численные методы. Использование MATLAB

Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д.

© Издательский дом "Вильямс", 2001

© Prentice Hall, Inc., 1999

Затем при доказательстве утверждений типа "тогда и только тогда" мы, конечно же, должны проводить их и в одну, и в другую сторону.

When doing a proof of an "if and only if" statement, we must surely have one proof for the "if" part and another proof for the "only-if" part.

Хопкрофт, Джон,Мотвани, Раджив,Ульман, Джеффри / Введение в теорию автоматов, языков и вычисленийHopcroft, John,Motwani, Rajeev,Ullman, Jeffrey / Introduction to automata theory, languages, and computation

Introduction to automata theory, languages, and computation

Hopcroft, John,Motwani, Rajeev,Ullman, Jeffrey

© 2001 by Addison-Wesley

Введение в теорию автоматов, языков и вычислений

Хопкрофт, Джон,Мотвани, Раджив,Ульман, Джеффри

© Издательский дом "Вильямс", 2002

© Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2001

Показать, что Ua - спектральный оператор в С (S) тогда и только тогда, когда а - рациональное кратное я.

Show that Va is a spectral operator on C(S) if and only if a is a rational multiple of TT.

Данфорд, Н.,Шварц, Дж. / Линейные операторы. Спектральные операторыDunford, Nelson,Schwartz, Jacob / Linear operators. Part III: Spectral operators

Linear operators. Part III: Spectral operators

Dunford, Nelson,Schwartz, Jacob

© 1971, by John Wiley & Sons, Inc., Nelson Dunford and Jacob Schwartz

Линейные операторы. Спектральные операторы

Данфорд, Н.,Шварц, Дж.

© Перевод на русский язык, "Мир", 1973

Показать, что класс 3 структур для L является обобщенно элементарным классом тогда и только тогда, когда каждое ультрапроизведение структур из 3 принадлежит 3 и каждая структура, элементарно эквивалентная структуре из 3, принадлежит 3

Show that a class 3 of structures for L is a generalized elementary class iff every ultraproduct of structures in 3 is in 3 and every structure elementarily equivalent to a structure in 3 is in 3.

Шенфилд, Дж. / Математическая логикаShoenfield, Joseph / Mathematical Logic

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Фиктивный игрок является «болваном» тогда и только тогда, когда T имеет такую же характеристическую функцию, как и некоторая игра с нулевой суммой, т. е. если выполнено (57:20).

The fictitious player is a dummy if and only if T has the same characteristic function as a constant-sum game—i.e. if (57:20) is fulfilled.

Нейман, Джон,Моргенштерн, Оскар / Теория игр и экономическое поведениеNeumann, John,Morgenstern, Oskar / Theory of Games and Economic Behavior

Theory of Games and Economic Behavior

Neumann, John,Morgenstern, Oskar

© 1944 by Princeton University Press

Теория игр и экономическое поведение

Нейман, Джон,Моргенштерн, Оскар

© Издательство «Наука», 1970 г.

4. Показать, что если А нормальна, то х является собственным вектором матрицы А тогда и только тогда, когда он является собственным вектором, матрицы А*.

4. Using the foregoing exercises, or otherwise, show that if A is normal, then re is a characteristic vector of A if and only if it is a characteristic vector of A*.

Беллман, Р. / Введение в теорию матрицBellman, Richard / Introduction To Matrix Analysis

Introduction To Matrix Analysis

Bellman, Richard

© 1960 by The RAND Corporation

Введение в теорию матриц

Беллман, Р.

Два ориентированных многообразия F и F имеют одинаковые числа Понтрягина тогда и только тогда, когда некоторое целочисленное кратное многообразия —F является краем.

Two oriented manifolds F and F have the same Pontrjagin numbers if and only if some integral multiple of F bounds.

Хирцебрух, Фридрих / Топологические методы в алгебраической геометрииHirzebruch, Friedrich / Topological Methods in Algebraic Geometry

Topological Methods in Algebraic Geometry

Hirzebruch, Friedrich

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1956,1962,1966 and 1978

Топологические методы в алгебраической геометрии

Хирцебрух, Фридрих

© Перевод на русский язык, «Мир», 1973