natural number

0 is a natural number;

0 есть натуральное число;

Shoenfield, Joseph / Mathematical LogicШенфилд, Дж. / Математическая логика

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

The second stage of the proof starts from the fact just stated, which implies that F for some natural number m.

Второй шаг доказательства начинается с уже установленного факта, из которого следует, что существует такое натуральное m, для которого F.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Obviously any natural number a is divisible by 1 (the quotient being a) and by a (the quotient being 1).

Очевидно, что каждое натуральное число а делится на 1 (отношение равно а) и на а (отношение равно 1).

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

We shall obtain a definition of natural number in ZF in the next section.

В следующем параграфе мы получим определение натурального числа в теории ZF.

Shoenfield, Joseph / Mathematical LogicШенфилд, Дж. / Математическая логика

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

We must then define the successor operation and the property of being a natural number.

Затем мы должны определить операцию следования и свойство быть натуральным числом.

Shoenfield, Joseph / Mathematical LogicШенфилд, Дж. / Математическая логика

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

Any two natural numbers a and b have a sum, denoted by a+b, which is itself a natural number.

Любые два натуральных числа а и b имеют сумму, обозначаемую а+b, которая сама является натуральным числом.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Most of the propositions of the theory of numbers make some assertion about every natural number; for example Lagrange's theorem asserts that every natural number is representable as the sum of at most four squares.

Большинство предложений теории чисел являются утверждениями о произвольном натуральном числе; например, теорема Лагранжа говорит о том, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

The successor of a natural number is the next larger natural number.)

Последователем натурального числа является следующее большее натуральное число.)

Shoenfield, Joseph / Mathematical LogicШенфилд, Дж. / Математическая логика

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

It is plain that the process must terminate, for the decreasing sequence a,b,c, ... of natural numbers cannot go on for ever.

С другой стороны, ясно, что процесс должен окончиться, так как убывающая последовательность а, b, с, ... натуральных чисел не может быть бесконечной.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

First, a finitary proof deals only with concrete objects, and these may be replaced by natural numbers by assigning such a number to each object (as we have done for expressions).

Во-первых, финитное доказательство имеет дело только с конкретными объектами, а их можно заменить натуральными числами, сопоставляя такое число каждому объекту (как мы это про делали с выражениями).

Shoenfield, Joseph / Mathematical LogicШенфилд, Дж. / Математическая логика

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

These, together with the natural numbers, form the system of all integers:

Вместе с натуральными числами они образуют систему всех целых чисел:

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Let us return to the natural numbers.

Вернемся к натуральным числам.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Natural Number Objects

ОБЪЕКТЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Johnstone, P. T / Topos TheoryДжонстон, П. Т. / Теория топосов

Теория топосов

Джонстон, П. Т.

© 1977 by ACADEMIC PRESS INC. (LONDON) LTD.

© Перевод на русский язык, дополнение. Издательство "Наука". Главная редакция физико-математической литературы, 1986

Topos Theory

Johnstone, P. T

© 1977 by ACADEMIC PRESS INC. (LONDON) LTD.

The propositions themselves relate entirely to the natural numbers, and it seems reasonable that they should be provable without the intervention of such foreign ideas.

Сами же утверждения относятся непосредственно к натуральным числам, и казалось разумным искать доказательства, не использующие чуждых теории чисел идей.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

In the ordinary arithmetic of natural numbers we can always carry out the two fundamental operations, addition and multiplication.

В обычной арифметике натуральных чисел мы всегда можем выполнять основные прямые операции — сложение и умножение.

Courant, Richard,Robbins, Herbert / What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and MethodsКурант, Р.,Роббинс, Г. / Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Курант, Р.,Роббинс, Г.

© МЦНМО, 2001

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

Courant, Richard,Robbins, Herbert

© 1941 (renewed 1969) by Richard Courant

© 1996 by Oxford University Press, Inc.