variational

Thus, in this section, we extend our previous results to the case where the curves are given parametrically, confining ourselves to the simplest variational problem.

В этом параграфе мы, ограничиваясь простейшей задачей вариационного исчисления, перенесем полученные ранее результаты на случай параметрического задания кривых.

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В. / Вариационное исчислениеGelfand, I.M.,Fomin, S.V. / Calculus of variations

Calculus of variations

Gelfand, I.M.,Fomin, S.V.

© 1963 by PRENTICE-HALL, INC. Englewood Cliffs, N. J.

Вариационное исчисление

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В.

An equation which is satisfied to within terms of the first order by the difference between two neighboring solutions of a given differential equation is called the variational equation (of the original differential equation).

Уравнение, которому удовлетворяет с точностью до малых выше первого порядка разность двух бесконечно близких решений некоторого исходного дифференциального уравнения, называется уравнением в вариациях (для этого исходного уравнения )).

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В. / Вариационное исчислениеGelfand, I.M.,Fomin, S.V. / Calculus of variations

Calculus of variations

Gelfand, I.M.,Fomin, S.V.

© 1963 by PRENTICE-HALL, INC. Englewood Cliffs, N. J.

Вариационное исчисление

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В.

Discrete modeling can, of course, be derived, by directly discretizing the partial differential equations resulting from the variational approach.

Дискретное моделирование можно, конечно, получить с помощью непосредственной дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных, получающихся при использовании вариационного подхода.

Jähne, Bernd / Digital Image ProcessingЯне, Бернд / Цифровая обработка изображений

Цифровая обработка изображений

Яне, Бернд

© 2005, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

© 2006, ЗАО «РИЦ «Техносфера» перевод на русский язык

Digital Image Processing

Jähne, Bernd

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005

The following variational problem, called the isoperimetric problem, was solved by Euler: Among all closed curves of a given length I, find the curve enclosing the greatest area.

Эйлером было дано решение следующей вариационной задачи (изопериметрическая задача): среди всех замкнутых кривых, имеющих данную длину S, найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В. / Вариационное исчислениеGelfand, I.M.,Fomin, S.V. / Calculus of variations

Calculus of variations

Gelfand, I.M.,Fomin, S.V.

© 1963 by PRENTICE-HALL, INC. Englewood Cliffs, N. J.

Вариационное исчисление

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В.

In the general case, the variational derivative is defined as follows:

Сформулируем теперь определение вариационной производной в общем случае.

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В. / Вариационное исчислениеGelfand, I.M.,Fomin, S.V. / Calculus of variations

Calculus of variations

Gelfand, I.M.,Fomin, S.V.

© 1963 by PRENTICE-HALL, INC. Englewood Cliffs, N. J.

Вариационное исчисление

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В.

We now indicate some typical examples of variational problems, by which we mean problems involving the determination of maxima and minima of functionals.

Укажем некоторые типичные примеры вариационных задач, т. е. задач на нахождение наибольших и наименьших значений функционалов.

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В. / Вариационное исчислениеGelfand, I.M.,Fomin, S.V. / Calculus of variations

Calculus of variations

Gelfand, I.M.,Fomin, S.V.

© 1963 by PRENTICE-HALL, INC. Englewood Cliffs, N. J.

Вариационное исчисление

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В.

It is usually very difficult, and sometimes impossible, to solve variational problems explicitly in terms of formulas or geometrical constructions involving known simple elements.

Обыкновенно бывает очень трудно, а иногда даже невозможно, решить вариационную проблему явно с помощью формул или геометрических построений, включающих простые, известные элементы.

Courant, Richard,Robbins, Herbert / What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and MethodsКурант, Р.,Роббинс, Г. / Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Курант, Р.,Роббинс, Г.

© МЦНМО, 2001

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

Courant, Richard,Robbins, Herbert

© 1941 (renewed 1969) by Richard Courant

© 1996 by Oxford University Press, Inc.

From the above discussion we know that to each approach of locally varying diffusion coefficient, a corresponding variational error functional exists that is minimized by the diffusion-reaction system.

Из вышеизложенного рассуждения мы знаем, что для каждого подхода к локально изменяющемуся коэффициенту диффузии существует соответствующий вариационный функционал ошибок, который минимизируется диффузионно-реакционной системой.

Jähne, Bernd / Digital Image ProcessingЯне, Бернд / Цифровая обработка изображений

Цифровая обработка изображений

Яне, Бернд

© 2005, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

© 2006, ЗАО «РИЦ «Техносфера» перевод на русский язык

Digital Image Processing

Jähne, Bernd

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005

As an example, we discuss the same smoothness criterion that we used also in the variational approach, the first derivative.

В качестве примера рассмотрим тот же критерий гладкости, который мы также использовали в вариационном подходе, - первую производную.

Jähne, Bernd / Digital Image ProcessingЯне, Бернд / Цифровая обработка изображений

Цифровая обработка изображений

Яне, Бернд

© 2005, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

© 2006, ЗАО «РИЦ «Техносфера» перевод на русский язык

Digital Image Processing

Jähne, Bernd

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005

In particular, a variational representation due to Wielandt plays a fundamental role in much of the theory of positive matrices.

Фундаментальную роль в теории положительных матриц играет, в частности, ряд преобразований, выполненных Виландом.

Bellman, Richard / Introduction To Matrix AnalysisБеллман, Р. / Введение в теорию матриц

Введение в теорию матриц

Беллман, Р.

Introduction To Matrix Analysis

Bellman, Richard

© 1960 by The RAND Corporation

As a guide in such qualitative considerations, it is helpful to reformulate the fundamental equations of stellar structure in a variational principle:

В качестве примера такого качественного рассмотрения полезно переформулировать основные уравнения, описывающие строение звезды, на основе вариационного принципа

Weinberg, Steven / Gravitation and Cosmology: Principles and Applications Of The General Theory Of RelativityВейнберг, Стивен / Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности

Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности

Вейнберг, Стивен

© Перевод на русский язык, «Мир», 1975

Gravitation and Cosmology: Principles and Applications Of The General Theory Of Relativity

Weinberg, Steven

© 1972, by John Wiley & Sons, Inc.

As another example of the way in which these linear variational problems arise in mathematical economics, consider the model presented in Sec. 15.

В качестве другого примера того, как возникают линейные вариационные задачи, можно рассмотреть модель, приведенную в § 15.

Bellman, Richard / Introduction To Matrix AnalysisБеллман, Р. / Введение в теорию матриц

Введение в теорию матриц

Беллман, Р.

Introduction To Matrix Analysis

Bellman, Richard

© 1960 by The RAND Corporation

Therefore, the question of whether or not a certain variational problem has a solution does not just reduce to the usual existence theorems for differential equations.

Поэтому вопрос о разрешимости той или иной вариационной задачи не сводится непосредственно к обычным теоремам существования для дифференциальных уравнений.

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В. / Вариационное исчислениеGelfand, I.M.,Fomin, S.V. / Calculus of variations

Calculus of variations

Gelfand, I.M.,Fomin, S.V.

© 1963 by PRENTICE-HALL, INC. Englewood Cliffs, N. J.

Вариационное исчисление

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В.

Statistical data processing was conducted by method of variational statistics with the usage of Student's criterion.

Статистическую обработку данных проводили методом вариационной статистики с использованием критерия Стъюдента.

http://www.patentlens.net/ 12/14/2011

http://www.patentlens.net/ 12/14/2011

Some Simple Variational Problems

Простейшая задача вариационного исчисления

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В. / Вариационное исчислениеGelfand, I.M.,Fomin, S.V. / Calculus of variations

Calculus of variations

Gelfand, I.M.,Fomin, S.V.

© 1963 by PRENTICE-HALL, INC. Englewood Cliffs, N. J.

Вариационное исчисление

Гельфанд, И.М.,Фомин, С.В.