To get your own place (или place of your own) - это находить свое собственное жилье, а не "место" (место чего???). Это настолько устойчивое выражение, что оно известно каждому англоговорящему человеку с детства.
For your reference: http://ranacampbell.com/2014/04/02/moving-out-and-getting-your-place-after-college-can-seem-nerve-wracking-but-it-doesnt-have-to-be-find-out-why/

You can easily google for some more information yourself. Welcome :)