"идёт период обслуживания" - странно по-русски фраза звучит.
Период не процесс, а промежуток времени.
В данный момент идет обслуживание - так можно сказать.
Про период:
начался, продолжается, закончился, еще не закончился, но не "идет".
Но на правильность своего перевода не претендую :)

я не писал исходник, а в нём именно период идёт

гарантийный срок еще не закончился
(?)

(он/товар) еще на гарантии

не стал гадать насчёт гарантии, хотя вполне может быть

гарантийный срок еще не закончился - как вариант

"я не писал исходник, а в нём именно период идёт" - мне в таких случаях говорят - "Это не оправдание для переводчика" :)

ну хорошо, что я не переводчик, а то пришлось бы ещё и оправдываться перед незнакомцами

Просто здесь все так трепетно относятся к ошибкам в английском тексте, и никто не удивляется но поправки.
А по-русски, выходит, можно писать неправильно?

кроме ваших утверждений я пока никаких ошибок не вижу

Вы всерьез считаете, что "идет период обслуживания" - это по-русски грамотно?
Хорошо, умолкаю. Думаю, в этом случае, вам бесполезно что-то доказывать.

Вы всерьез считаете, что "период обслуживания продолжается" - это по-русски грамотно?